円周率を求める （その７）

　円周率を求めるにあたり、どうしても変数に許

されるメモリー上の制限がある。これにより通常

の変数は15桁迄となっている。

　JAVAでは、その制限に対する解決策として、

BigIntegerクラスの整数型の変数が使えるので、

これを使って、より高精度な円周率を求めてみる

　これにはサチンの公式が扱いやすいので、これ

を使う。

計算結果は

　上記は1000桁迄であるが、2万桁までは手持ちの

パソコンで計算できた

円周率を求める（その６）

 　図形から円周率を求める事を試みてみたが、

円周率にはなっていそうだが、精度が上がらな

いようで、不満が残った。

　もっと高い精度が欲しいので、級数形式にし

たいと思い、Wikipediaを調べてみると、沢山

出てきた。数学の力を改めて感じた。

代表的なものを以下にあげる。

①のグレゴリ－・ライプニッツの公式は比較的わかり

やすいもので、マクローリン級数とｘ＝１の時の三角

関数arctanｘ＝π/4で、この式にたどり着けます。

但し、中々収束しません。5000万回繰返しても、

小数点以下10桁迄の精度しか有りませんでした。

ピタゴラス、アルキメデスでは２４回の繰返しで

小数点以下14桁の精度でした。

②のマチンの公式では右辺の第一項及び第二項あわせ

ても16回の繰返し計算で小数点以下14桁の精度にな

りました。

③ガウス・ルジャンドルのアルゴリズムでは、３回の

繰返し計算で、小数点以下14桁の精度になりました。　

ここでは、３種類を同時に計算させるため、雑ですが

次のようにプログラムを書きました。

計算結果

小数点14桁より下は、プログラムの倍精度数値の

範囲外であるため、ここでは0と表示されたりする。

補足

グレゴリ－・ライプニッツの公式について

マクローリン級数において、x<1を考慮すると

一気に収束が早くなる。

なんと、30回程度の繰返し計算でπ関数とほぼ同じ

値を得る事が出来た。

円周率を求める（その５）

　円の面積を求めれば、円周率がわかると言う事
で 積分の考え方からパイ(π)を計算してみる。

計算結果を見ると、分割数を増やしても下10桁以上

に精度は上がりそうにない

円周率を求める（その４）

 　精度の上でまだ中途半端な気がして仕方がない。

計算できればそれでいい事ではあったのですが、

なにか物足りない。

　そこで、パソコンが有れば、数学に詳しくなく

ても出来る方法として、乱数による解法を確かめて

みる事にした。

　以上のように、大変効率が悪かった。これも理屈

の上では円周率を求める事ができるのですがね。

　参考にプログラムを上げておきます。

円周率を求める（その３）

 　アルキメデスは直角三角形の相似を利用して

円周率をもとめていたので、こちらを試してみた。

ピタゴラスの定理を使うより、平方根の使用回数

が減るので、もしかしたら精度が上がるかなと思

ったのですが・・・

※この人、紀元前200年頃の人だそうです。

　現代人の私が思いつかなかった事をこんな昔に解いてたん

　だと思うと・・・。情けないです。

・考え方

・プログラム

・結果

となり、ピタゴラスの定理を使った場合の同じ値に

なった。公認されたπの値より少し大きい数値に

収束するのは、やはりプログラム上扱える数値の

桁数の影響が大きいようだ。

円周率を求める（その２）

 　式が出来てしまうと、プログラムは簡単です。

出力結果

円周率を求める（その１）

 　円周率は、円の直径からその円の円周の長さを

求める時に、小学校の時からお世話になった係数

です。

　しかし、その円周率はどうやって求められてい

たのか普通の人は知りません。ドラム缶のような

円柱の円周を巻き尺で測って、直径で割れば出て

きますが、巻き尺の目盛は良くてmm単位ですし

測定誤差もあります。

　ここで論理的な方法を考えてみますと、先ずは

三平方の定理を使う方法が有るようです。

※直角三角形の三辺abcには

　a^２＋ｂ^２＝ｃ^２

解き方

素因数分解（その２）

 　Javaを意識しながら、試行錯誤して次のような

フローチャートとプログラムを考えました。

　素因数分解したい数字n1をひたすらiと言う数字

（2～n1）で割っていって割り切れる数字と割った

回数を拾い出すやり方です。iは小さい数字から使

いますので、結果的に素数で割った形になります。

　計算結果の一部を示すと、

となりました。

素因数分解（その1）

　素数以外の自然数は素数の掛け算で表現できま

すが、これが素因数分解です。

　自然数２からN迄の数字を素因数分解するプロ

グラムを増した考えて見ました。

ざっと、フローチャートを作りました。

 

　Basic言語なら、このフローチャート通りに書けば

多分目的を達成します。goto文が好きなプログラム

の行に飛びますから、矢印どうりに処理を進めてく

れるはずです。

　でもjava等のプログラム言語にはこの様な命令文

はなさそうです。

　そこで、このフローチャートをベースにjavaで使

えるフローチャートを考えなければなりません。

※他のレベルの高い人はどう書くか知りませんが、

　私の場合はこの手順で考えます。

素数を求める（その５）

 　今までに改良してきたプログラムは、素数か

どうか調べたい数字ｎをそれより小さい数字iで

割ってみて余りがあるかどうかで判定している

が、全てのiで割った後、１個以上割れる数字が

有った時に素数と判断している。

　今回はiで割る時割り切れる数字が１個見つ

かったら、すぐに次のｎを調べるようにする。

　こうすれば、素数でないと分かった後の無駄

な計算をする事を省ける。

その方法は、図のようにbreak;を入れるだけ

で済む。

　これにより、2秒かかった計算が0.5秒に

なった。「素数を求める(No.１)」のプログ

ラムからの改善の結果、

N＝100,000の時

　素数の数：9,592個

　処理時間：14,119 ms

　処理回数：4,999,850,001回

であったのが、今回の改善「素数を求める(その５)」

のプログラムでは、

N＝100,000の時

　素数の数：9,592個

　処理時間：518 ms

　処理回数：  113,970,448回

N＝1,000,000の時

　素数の数：78,498個

　処理時間：36,915 ms

　処理回数：  9,395,812,778回

にする事が出来た。

因みに、「素数を求める(No.１)」のプログラム

に、break；を入れた場合は

N＝100,000の時

　素数の数：9,592個

　処理時間：1051 ms

　処理回数：227,995,678回

N＝1,000,000の時

　素数の数：78,498個

　処理時間：77,986 ms

   処理回数：18,792,164,730回

であった。

尚、「素数を求める(No.１)」のプログラム

に、break；を入れなかった場合には

N＝1,000,000の時

　素数の数：78,498個

　処理時間：708,240 ms (約12分)

　処理回数：249,999,000,001回

素数を求める（その４）

 　「素数を求める(その3)」から更に改良します。

素数は2から始まりますが、それ以降は全て奇数の

はずです。そこで、プログラム上で調査する数値を

奇数だけにします。

　計算時間で２秒、処理回数及び処理時間が

約1/4になりました。プログラムミング初期

と比べると、1/7です。