円周率を求める（その６）

 　図形から円周率を求める事を試みてみたが、

円周率にはなっていそうだが、精度が上がらな

いようで、不満が残った。

　もっと高い精度が欲しいので、級数形式にし

たいと思い、Wikipediaを調べてみると、沢山

出てきた。数学の力を改めて感じた。

代表的なものを以下にあげる。

①のグレゴリ－・ライプニッツの公式は比較的わかり

やすいもので、マクローリン級数とｘ＝１の時の三角

関数arctanｘ＝π/4で、この式にたどり着けます。

但し、中々収束しません。5000万回繰返しても、

小数点以下10桁迄の精度しか有りませんでした。

ピタゴラス、アルキメデスでは２４回の繰返しで

小数点以下14桁の精度でした。

②のマチンの公式では右辺の第一項及び第二項あわせ

ても16回の繰返し計算で小数点以下14桁の精度にな

りました。

③ガウス・ルジャンドルのアルゴリズムでは、３回の

繰返し計算で、小数点以下14桁の精度になりました。　

ここでは、３種類を同時に計算させるため、雑ですが

次のようにプログラムを書きました。

計算結果

小数点14桁より下は、プログラムの倍精度数値の

範囲外であるため、ここでは0と表示されたりする。

補足

グレゴリ－・ライプニッツの公式について

マクローリン級数において、x<1を考慮すると

一気に収束が早くなる。

なんと、30回程度の繰返し計算でπ関数とほぼ同じ

値を得る事が出来た。

円周率を求める（その５）

　円の面積を求めれば、円周率がわかると言う事
で 積分の考え方からパイ(π)を計算してみる。

計算結果を見ると、分割数を増やしても下10桁以上

に精度は上がりそうにない

円周率を求める（その４）

 　精度の上でまだ中途半端な気がして仕方がない。

計算できればそれでいい事ではあったのですが、

なにか物足りない。

　そこで、パソコンが有れば、数学に詳しくなく

ても出来る方法として、乱数による解法を確かめて

みる事にした。

　以上のように、大変効率が悪かった。これも理屈

の上では円周率を求める事ができるのですがね。

　参考にプログラムを上げておきます。

円周率を求める（その３）

 　アルキメデスは直角三角形の相似を利用して

円周率をもとめていたので、こちらを試してみた。

ピタゴラスの定理を使うより、平方根の使用回数

が減るので、もしかしたら精度が上がるかなと思

ったのですが・・・

※この人、紀元前200年頃の人だそうです。

　現代人の私が思いつかなかった事をこんな昔に解いてたん

　だと思うと・・・。情けないです。

・考え方

・プログラム

・結果

となり、ピタゴラスの定理を使った場合の同じ値に

なった。公認されたπの値より少し大きい数値に

収束するのは、やはりプログラム上扱える数値の

桁数の影響が大きいようだ。