円周率を求める （その７）

　円周率を求めるにあたり、どうしても変数に許

されるメモリー上の制限がある。これにより通常

の変数は15桁迄となっている。

　JAVAでは、その制限に対する解決策として、

BigIntegerクラスの整数型の変数が使えるので、

これを使って、より高精度な円周率を求めてみる

　これにはサチンの公式が扱いやすいので、これ

を使う。

計算結果は

　上記は1000桁迄であるが、2万桁までは手持ちの

パソコンで計算できた

円周率を求める（その６）

 　図形から円周率を求める事を試みてみたが、

円周率にはなっていそうだが、精度が上がらな

いようで、不満が残った。

　もっと高い精度が欲しいので、級数形式にし

たいと思い、Wikipediaを調べてみると、沢山

出てきた。数学の力を改めて感じた。

代表的なものを以下にあげる。

①のグレゴリ－・ライプニッツの公式は比較的わかり

やすいもので、マクローリン級数とｘ＝１の時の三角

関数arctanｘ＝π/4で、この式にたどり着けます。

但し、中々収束しません。5000万回繰返しても、

小数点以下10桁迄の精度しか有りませんでした。

ピタゴラス、アルキメデスでは２４回の繰返しで

小数点以下14桁の精度でした。

②のマチンの公式では右辺の第一項及び第二項あわせ

ても16回の繰返し計算で小数点以下14桁の精度にな

りました。

③ガウス・ルジャンドルのアルゴリズムでは、３回の

繰返し計算で、小数点以下14桁の精度になりました。　

ここでは、３種類を同時に計算させるため、雑ですが

次のようにプログラムを書きました。

計算結果

小数点14桁より下は、プログラムの倍精度数値の

範囲外であるため、ここでは0と表示されたりする。

補足

グレゴリ－・ライプニッツの公式について

マクローリン級数において、x<1を考慮すると

一気に収束が早くなる。

なんと、30回程度の繰返し計算でπ関数とほぼ同じ

値を得る事が出来た。

円周率を求める（その５）

　円の面積を求めれば、円周率がわかると言う事
で 積分の考え方からパイ(π)を計算してみる。

計算結果を見ると、分割数を増やしても下10桁以上

に精度は上がりそうにない

円周率を求める（その４）

 　精度の上でまだ中途半端な気がして仕方がない。

計算できればそれでいい事ではあったのですが、

なにか物足りない。

　そこで、パソコンが有れば、数学に詳しくなく

ても出来る方法として、乱数による解法を確かめて

みる事にした。

　以上のように、大変効率が悪かった。これも理屈

の上では円周率を求める事ができるのですがね。

　参考にプログラムを上げておきます。

円周率を求める（その３）

 　アルキメデスは直角三角形の相似を利用して

円周率をもとめていたので、こちらを試してみた。

ピタゴラスの定理を使うより、平方根の使用回数

が減るので、もしかしたら精度が上がるかなと思

ったのですが・・・

※この人、紀元前200年頃の人だそうです。

　現代人の私が思いつかなかった事をこんな昔に解いてたん

　だと思うと・・・。情けないです。

・考え方

・プログラム

・結果

となり、ピタゴラスの定理を使った場合の同じ値に

なった。公認されたπの値より少し大きい数値に

収束するのは、やはりプログラム上扱える数値の

桁数の影響が大きいようだ。

円周率を求める（その２）

 　式が出来てしまうと、プログラムは簡単です。

出力結果

円周率を求める（その１）

 　円周率は、円の直径からその円の円周の長さを

求める時に、小学校の時からお世話になった係数

です。

　しかし、その円周率はどうやって求められてい

たのか普通の人は知りません。ドラム缶のような

円柱の円周を巻き尺で測って、直径で割れば出て

きますが、巻き尺の目盛は良くてmm単位ですし

測定誤差もあります。

　ここで論理的な方法を考えてみますと、先ずは

三平方の定理を使う方法が有るようです。

※直角三角形の三辺abcには

　a^２＋ｂ^２＝ｃ^２

解き方

素因数分解（その２）

 　Javaを意識しながら、試行錯誤して次のような

フローチャートとプログラムを考えました。

　素因数分解したい数字n1をひたすらiと言う数字

（2～n1）で割っていって割り切れる数字と割った

回数を拾い出すやり方です。iは小さい数字から使

いますので、結果的に素数で割った形になります。

　計算結果の一部を示すと、

となりました。

素因数分解（その1）

　素数以外の自然数は素数の掛け算で表現できま

すが、これが素因数分解です。

　自然数２からN迄の数字を素因数分解するプロ

グラムを増した考えて見ました。

ざっと、フローチャートを作りました。

 

　Basic言語なら、このフローチャート通りに書けば

多分目的を達成します。goto文が好きなプログラム

の行に飛びますから、矢印どうりに処理を進めてく

れるはずです。

　でもjava等のプログラム言語にはこの様な命令文

はなさそうです。

　そこで、このフローチャートをベースにjavaで使

えるフローチャートを考えなければなりません。

※他のレベルの高い人はどう書くか知りませんが、

　私の場合はこの手順で考えます。

素数を求める（その５）

 　今までに改良してきたプログラムは、素数か

どうか調べたい数字ｎをそれより小さい数字iで

割ってみて余りがあるかどうかで判定している

が、全てのiで割った後、１個以上割れる数字が

有った時に素数と判断している。

　今回はiで割る時割り切れる数字が１個見つ

かったら、すぐに次のｎを調べるようにする。

　こうすれば、素数でないと分かった後の無駄

な計算をする事を省ける。

その方法は、図のようにbreak;を入れるだけ

で済む。

　これにより、2秒かかった計算が0.5秒に

なった。「素数を求める(No.１)」のプログ

ラムからの改善の結果、

N＝100,000の時

　素数の数：9,592個

　処理時間：14,119 ms

　処理回数：4,999,850,001回

であったのが、今回の改善「素数を求める(その５)」

のプログラムでは、

N＝100,000の時

　素数の数：9,592個

　処理時間：518 ms

　処理回数：  113,970,448回

N＝1,000,000の時

　素数の数：78,498個

　処理時間：36,915 ms

　処理回数：  9,395,812,778回

にする事が出来た。

因みに、「素数を求める(No.１)」のプログラム

に、break；を入れた場合は

N＝100,000の時

　素数の数：9,592個

　処理時間：1051 ms

　処理回数：227,995,678回

N＝1,000,000の時

　素数の数：78,498個

　処理時間：77,986 ms

   処理回数：18,792,164,730回

であった。

尚、「素数を求める(No.１)」のプログラム

に、break；を入れなかった場合には

N＝1,000,000の時

　素数の数：78,498個

　処理時間：708,240 ms (約12分)

　処理回数：249,999,000,001回

素数を求める（その４）

 　「素数を求める(その3)」から更に改良します。

素数は2から始まりますが、それ以降は全て奇数の

はずです。そこで、プログラム上で調査する数値を

奇数だけにします。

　計算時間で２秒、処理回数及び処理時間が

約1/4になりました。プログラムミング初期

と比べると、1/7です。

素数を求める（その３）

 Ｎ＝100,000迄の素数一覧です

⇒一覧表

素数を求める（その2）

　 さて、「素数を求める（その１）」で、N＝100

とし、100迄の素数を求めました。その時２５個の

素数があったわけですが、Nをより大きな数字にし

たらどうなるか？を考えてみました。

N＝ 10,000の時

　素数の数：1,229個

　処理時間：  164 ms

　処理回数：  　49,985,001回

N＝ 20,000の時

　素数の数：2,262個

　処理時間：  617 ms

　処理回数：　199,970,001回

N＝ 50,000の時

　素数の数：5,133個

　処理時間： 3,468 ms

　処理回数：1,249,925,001回

N＝100,000

　素数の数：9,592個

　処理時間：14,119 ms

　処理回数：4,999,850,001回

　と言うようにNが10万程度でも素数はちゃんと

拾いだせるのですが、計算ループ部分の処理回数

が50億回位になって、処理時間は14秒以上も掛

かってきます。

　

　そこで、もっと短い時間で処理できるように

プログラムの改善を考えてみます。

　ｎと言う数字が素数か調べるためにｎ-1迄の

数字で割っていますが、ｎはｎ/2以上の数字で

割っても、2以下にしかなりませんので、

n-1迄の数字ではなく、ｎ/2迄の数字で割れば

十分です。

　但し、ｎ-1⇒ｎ/2ではプログラム上ｎを整数

であるintと定義しているので、例えば3/2=1.5

でなく1、5/2=2.5でなく2となるので、念の為

にｎ-1⇒ｎ/2+1としてみます。

　変更後、処理時間及び処理回数が半分になりました。

素数を求める（その1）

　 素数を求めるプログラムを考えました。

　先ずは見て下さい。

　

　フローチャート及びプログラムと計算結果

eclipse操作（No.6）

  プログラミングのために、eclipses操作 No4に

戻ります。

　立上げ時の画面は「ワークベンチ」と呼ばれま

すが、その中にいくつかの作業スペースが並んで

います。

・エディター

　プログラムを書き込む領域

・パッケージエクスプローラ

　ワークスペースにあるプログラムのツリー

・コンソール

　プログラム実行結果等が表示されます

　この画面(ワークベンチ)で、如何にプログラミ

ング作業をするのかと言うと、

1）エディター内の

　　package pakkeeji01;

　　　public class Kurasu01 {

　　　　　public static void main(String[] args) {

// TODO 自動生成されたメソッド・スタブ

　　　　*************

　　　　　}

　　}

　　***********の行に実行する内容を書き込む

2）今回は、もっとも簡単な実行文として

　　System.out.println("じゃ～ばじゃば");

　と入れて見る。

3）これで、「じゃ～ばじゃば」とeclipse上で

　  プリントアウトするプログラムが完成した

4）次に、このプログラムを実行してみる

     下の絵の①→②の順にクリックする

　　※もしくは、直接○の三角マークをクリックする

5）すると、下のように命令が実行された事が解る

　以上が、eclipseでのｊａｖａプログラミングの

流れと、作業方法になる。

　最後に、javaプログラミング言語について、

簡単な説明をする。

eclipse操作（No.5）

　 さて、前回迄でプログラミングできる直前まで

到達できたのですが、私の場合は年齢的に小さな

文字が見え難いので、テキストの文字サイズを大

きくしたいと思います。別に小さくても良いと思

う人は、処理する必要は有りません。

1）以下の絵のように操作するとテキストサイズの

　 変更設定画面に到達します。

　①から順に選択してください。

　2）次にフォントサイズの変更です。

　　 今回はサイズ10を12にしてみます。

　　⑥から順に選んで下さい。すると、破線の丸枠で囲んでいる

　　ように、文字が大きくなります。

　前にも言ったように、気にならない人は無理にサイズ変更する

必要は有りません。

eclipse操作（No.4）

　次にクラスを作成し、プログラム作成の直前まで

の準備をします。

１）先ず、前回(プロジェクト作成）迄の画面です。

　　このようになっていると思います。

2）ではクラスを作成します。

　　プログラム作成と同じように、左上の「ファイル」

　　をクリックし、「新規」→「クラス」と順に選びます。

3）すると、クラス作成のための表が出てきますので、

　　それに書き込みます。

　　ここでは、パッケージ名を「pakkeji01」、

　　クラス名を「Kurasu01」と仮に設定しました。

　　勿論好きな名前(分類しやすい名前)でいいです。

　　この時、

　　Public static void main(String[]args)

　　の前の□にチェックを入れて下さい。後が少し

　　楽になります。

　　最後に「完了」をクリックします。

4）ここまでやると、次のような画面になっています。

　　　これで、プログラム作成の準備が全て終わりました。

　　　javaでは

　　　　package pakkeeji01;

　　　　public class Kurasu01 {

　　　　　public static void main(String[] args) {

　　　// TODO 自動生成されたメソッド・スタブ

　　　　　　・・・・・・

　　　　　　・・・・・・

　　　　　　・・・・・・

　　}

　　　　}

　　　の中の・・・・・・の部分にプログラムを書き

　　　込むことで、任意のプログラムを作成できます。

eclipse操作（No.3）

　eclipseでプログラムを作成するにはどうしたら

いいか？基本的な操作手順です。

１）操作前の画面

　　画面背景を白にした時と同じ画面です。

２）ｊａｖａの場合、先ずプログラムの開発単位として

　　最初にプロジェクトを作成します。

　　次の絵のように、「ファイル(F)」をクリックし

　　「新規(N)」→「javaプロジェクト」と進みます。

3）すると下の絵の左側のような枠が表示されま

　　すので、右側のように任意のプロジェクト名

　　を入力します。この時大文字のアルファベット

　　で書くのが慣例のようです。

　　ここでは「Hazimete01」としてみました。

　　　入力が終わったら、下の「次へ」をクリック

　　すれば、プロジェクト(フォルダ）が出来ます。

　　最後に下の絵の「完了」をクリックして下さい。

３）ここまででプロジェクトが作成できました。

　　　プロジェクトは、ある大きなプログラムを

　　作る時、にいくつかの小さなプログラムを入

　　れる容器みたいなものです。

　　　プログラム１個で構成される場合でも必ず

　　必要です。この段階まででの画面は、

eclipse操作（No.2）

　 eclipseがうまく使えるように、少し
触ってみます。ここは、本人が気にならなければ

このままでもOｋなのですが・・・

※尚、黄色文字は私が書き加えたコメントです

　１）立上げ直後の画面

　　尚、このままでは背景が暗くて見難いので

　　私は少し、設定を変えました。

　　背景を白くします。

　　 Ⅰ）画面の上から２段目「ウィンドウ(W)」をクリックし、

　　 　　プルダウンメニューの「設定(P)」を選んで下さい。

 　Ⅱ）設定をクリック後、「一般」の前の「⋗」 → 「外観」

　　　と選び、ルック＆フィールの項をダークからクラシック

　　　に変えて「適応」を選ぶと

　　 　eclipseが再起動する。

　１）その結果、次のように画面背景が白くなる。　

　　　※以前のeclipseのバージョンはこの背景

eclipse操作（No.1）

　eclipseを初めて起動するとどうなるかと言うと、

　1）起動タイトルの表示
　　 最新版では次のようなタイトルがまず表示されます。

　2）次に作成されるプログラムの保管場所の確認

       のため、以下のような表示がされます。

　　　　※これは、pleiadesフォルダの本バージョン用フォルダーである2022-09の中に

　　　　　eclipseフォルダーと並んでworkspaceと言う名前のフォルダ-として設定されます。

　　　　　これはしょきちですので、別の場所に変えたければ、ワークスペース(W)の後ろの

　　　　　参照(B)をクリックする事で、変更できます。

　　問題なければ、下の起動(L)をクリックして、

　　次に進みます。

　3）すると、eclipseのホーム画面が表示されます。

　　  以下がその画面です。

以上で立上げ完了です。

プログラミング支援ソフトの導入

 　まず最初に、プログラミングをする環境から準備
します。

　私は素人ですので、詳しいことは判りませんから、

インターネット等で調べてみると、eclipse という

ソフトウェアが良さそうだったのでこれにしました。

（インストール手順)

 １）以下のwebサイトを検索します。

　　　統合開発環境 Eclipse 日本語化プロジェクト - Pleiades (osdn.jp)

　　　https://mergedoc.osdn.jp/

　　 ※上記は、eclipseを日本語で使うためのソフト

          等全てをセットで入手でき、更にダウンロード

          後解凍するだけで使用可能になる優れものです。

 ２）以下の画面になったら、赤丸の位置の枠をクリックします。

 ３）上記クリックすると以下のページが開きますので

　　 下図の赤丸を選んで、これをクリックすると

　　 ダウンロード画面に移動します。

　　Pleiades All in One Eclipse 2022 ダウンロード (osdn.jp)

　　https://mergedoc.osdn.jp/

　　 更に、ダウンロードするファイル名が表示され

       ますのでこれもクリックすると、ダウンロード

       が始まります。

　　尚、上記はwindowsの場合です。Macは最初の図の赤丸の

　　下の段のDownLoadを選ぶととになると思います。

 4）ダウンロードが終了すると、パソコンのダウンロード

　　フォルダーに

　　　pleiades-2022-09-java-win-64bit-jre_20220914

　　という圧縮ファイル型のアプリケーションが出来ていま

　　すのでこれをクリックして実行すれば、パソコンにeclipse

　　のインストールが出来ます。

 ５) 後は、windows(C:)フォルダーの中に作成された

　　pleiadesフォルダーを探してその中のeclipseフォルダー

　　内にあるeclipseアプリケーションをダブルクリックすれば

　　eclipseが立ち上がります。

　　※尚立上げ初回は、これから自作するプログラムを保管する

　　　workスペースフォルダーの作成場所等の、初期設定が要求

　　　されます。この作業は後日とします。

　今日はここまで・・・